MAEC 3.1 Ecuaciones de Primer Grado

IGUALDAD

Una igualdad es la relación que existe entre dos expresiones diferentes las cuales tienen el mismo valor. Está relación se representa mediante el símbolo llamado igual (=).

Así, por ejemplo, serían igualdades:

7 = 6 + 1

2x - 8 = x + 3

Propiedades de la Igualdad

Para cualquier igualdad se cumplen las siguientes propiedades.

1. Simetría: Si una cantidad es igual a otra, entonces la segunda cantidad es igual a la primera.

Si    a = b     entonces      b = a

2. Transitividad: Si una cantidad es igual a otra, y esta a su vez el igual a una tercera cantidad, entonces la primera cantidad es igual a la tercera.

Si a = b   y   b = c     entonces      a = c

3. De la adición: Si a los dos miembros de una igualdad se les suma o resta una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad se mantiene.

Si  a = b    entonces     a + c = b + c

Si  a = b    entonces     a - c = b - c

4. De la multiplicación: Si los dos miembros de una igualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad se mantiene.

Si   a = b  entonces       ac = bc

Si   a = b   entonces    a/c = b/c  siempre que c≠0

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas, estas cantidades desconocidas se llaman incógnitas. Por ejemplo:

4x + 3 = 2x + 7    es una ecuación de primer grado con 1 incógnita

2x + 2y = 8    es una ecuación de primer grado con 2 incógnitas

4 – 3x = 2x² – 5   es una ecuación de segundo grado con 1 incógnita

3x³ + 2x²  - 2 = 4x + 5    es una ecuación de tercer grado con 1 incógnita

Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad, a estos valores se les llama soluciones o raíces de la ecuación.

Por ejemplo si en la ecuación 3x + 4 = 2x + 9, tomamos x = 2, al sustituir la x por 2 tendremos:

3(2) + 4 = 2(2) + 9

6 + 4 = 4 + 9

10 = 13    lo cual es falso, por tanto x = 2 NO es solución de la ecuación. 

Ahora si en la misma ecuación 3x + 4 = 2x + 9 , tomemos x = 5, al sustituir la x por 5 tendremos:

3(5) + 4 = 2(5) + 9

15 + 4 = 10 + 9

19 = 19    lo cual es verdadero, por tanto x = 5 SI es solución de la ecuación.

Solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver una ecuación de primer grado se realizan los siguientes pasos:

1. Se eliminan los signos de agrupación (paréntesis, corchetes) si los hay.

2. Se suprimen los denominadores, sí los hay.

3. Se reacomodan los términos de manera que del lado izquierdo queden las incógnitas y del lado derecho todo lo demás (al cambiar un término al otro lado se pasa con la operación contraria).

4. Se reducen los términos semejantes.

5. Se despeja la incógnita, y se calcula su valor.

6. Se realiza la comprobación.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación: 5 + 4x = 3x + 7

Solución: Pasamos el término 3x al lado izquierdo y el termino 5 al lado derecho

4x - 3x = 7 - 5

Reduciendo términos queda   1x = 2

Despejando  tenemos x = 2 / 1  de donde x = 2

Comprobemos que x = 2, satisface la ecuación dada.

5 +4(2) = 3(2) +7

5 +8 = 6 +7

13 = 13 que es verdadera.

Ejemplo 2. Resolver la ecuación:  2(x+1) +3(x-2) = x +3

Se suprimen los paréntesis multiplicando             2x + 2 + 3x - 6 = x +3

Reacomodamos los términos x, 2 y -6:                 2x + 3x – x = 3 - 2 + 6

Reduciendo términos tendremos:                               4x  = 7

Despejando x tenemos                                         x = 7 / 4

Comprobemos que 7/4, satisface la ecuación dada.

 

Recursos a consultar:
- Resolución ecuaciones (video)
- Resolver ecuaciones con fracciones  (video)
- Ecuaciones lineales (interactivas)
- Resolver ecuaciones con Microsoft Mathematics (video)
en el menu del lado derecho esta el enlace para descargar el programa
- Ecuaciones y problemas
- Resolver problemas

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS (2X2)

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas o lineal tiene la forma: ax + by = c  donde a, b y c son números conocidos y las variables x, y representan las incógnitas. Se le llama lineal debido a que su gráfica es una línea recta.

Por ejemplo en la ecuación: 3x + 6y = 15,  los valores 3, 6 y 15 son conocidos, x, y, son las incógnitas.

En la ecuación 4r + 2s = 50, los valores 4, 2 y 50 son conocidos, r, s, son las incógnitas.

Cuando en una situación o en un problema surjan dos ecuaciones con las mismas incógnitas pero con diferentes números, se dice que se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2).

 

La solución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, son aquellos valores de las incógnitas que cumplen con las condiciones dadas, es decir, satisfacen a cada ecuación, de esta manera un sistema puede tener: únicamente una solución, infinidad de soluciones, o no tener solución.

Existen varios métodos algebraicos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. En la mayoría de ellos se busca eliminar una de las incógnitas para obtener una nueva ecuación con una incógnita. Los métodos de eliminación más usados son:

1º. Por suma o resta (eliminación).

2º. Por igualación.

3º. Por sustitución.

Es importante resaltar que cualquiera de los métodos anteriores te llevará a la misma solución.

Método de Eliminación 

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por suma o resta seguimos los siguientes pasos:

1) Elegir la incógnita a eliminar.

2) Identificar los coeficientes de esa incógnita en cada ecuación.

3) Multiplicar una o las dos ecuaciones de manera que los coeficientes queden iguales pero con signo contrario.

4) Sumar las dos ecuaciones para eliminar la incógnita.

5) Resolver la nueva ecuación resultante para encontrar la otra incógnita.

6) Sustituir el valor hallado en cualquiera de las dos ecuaciones

7) Resolver la ecuación resultante para hallar la otra incógnita.

 

 

Método de Determinantes

Se le llama determinante a un arreglo de números formado por igual número de columnas y de filas. Un determinante se representa mediante el símbolo ǀ A ǀ. Un determinante de 2x2 se escribe de la siguiente manera:

Se multiplican los números en forma diagonal comenzando de izquierda a derecha

y se restan los productos.

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de determinantes, seguimos los siguientes pasos:

1) Calculamos el determinante del sistema formados por los coeficientes de las incógnitas:

2) Calculamos el determinante de x, sustituyendo los coeficientes de x por los términos independientes:

3) Calculamos el determinante de y, sustituyendo los coeficientes de y por los términos independientes:

4) Calculamos la solución dividiendo los determinantes de las incógnitasentre el determinante del sistema:

 

Recursos
metodo suma y resta (video)
metodo determinantes (video)
metodo gráfico
metodo sustitución (video)
metodo igualación (video)

SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS (3X3)

Así como anteriormente mencionamos que en algunas situaciones surgen dos ecuaciones con dos incógnitas también existen sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas llamados sistemas de 3x3. Este tipo de sistemas tienen la siguiente forma:

Para resolver este tipo de sistemas emplearemos el método de determinantes, mediante el siguiente procedimiento llamado regla de Cramer:

1) Escribimos el determinante del sistema con los coeficientes de las incógnitas:

2) Escribimos el determinante de x, sustituyendo los coeficientes de x por los términos independientes:

3) Escribimos el determinante de y, sustituyendo los coeficientes de y por los términos independientes:

4) Escribimos el determinante de z, sustituyendo los coeficientes de z por los términos independientes:

5) Calculamos las soluciones del sistema, dividiendo los determinantes de las incógnitas entre el determinante del sistema:

Recursos

metodo suma y resta 3x3 (video)
metodo determinantes 3x3 (video)