Técnicas de Conteo 2

Técnicas de Conteo: Permutaciones y Combinaciones

 

Antes de pasar a estas técnicas de conteo necesitamos revisar un operador matemático llamado factorial (!) , si n es un numero entero positivo el factorial de n se define de la siguiente manera:

n! = (n) (n-1) (n-2)….. (3) (2) (1)      ,     por definición 0! = 1

Veamos algunos ejemplos:

1!= 1

2! = (2) (1) = 2

3! = (3) (2) (1) = 6

4! = (4) (3) (2) (1) = 24

Permutaciones

Una permutación permite calcular el número de resultados experimentales cuando de un conjunto de n objetos se seleccionan r objetos, y el orden de selección es importante (los mismos r objetos acomodados en orden diferente se consideran un resultado diferente).

Ejemplo 1. En una reunión 8 amigos se sientan para poder ver el partido de futbol. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse estas ocho personas para ver el partido?
Sea  n = 8, entonces

                                        

 

Ejemplo 2. Suponga que un sindicato está constituido por 35 personas, se desea nombrar a los representantes (Presidente, Secretario y Tesorero). Determina de cuantas formas se puede elegir este grupo de representantes.

Sean n = 35, r = 3 , 

                                                                                             

Ejemplo 3. ¿Cuantas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra SUPERSTICIOSO?
Sean    n = total letras =13;      n₁ = veces repite letra S =3;     n₂ = veces repite letra I =2;
n₃ = veces repite letra O =2  

                      
b) ¿Cuantas permutaciones se pueden hacer que comiencen con la letra T y terminen en la letra E?
Como la T y la E ya están fijas solo ocuparemos las letras restantes n = total letras =11;
n₁ = veces repite letra S =3; n₂ = veces repite letra I =2; n₃ = veces repite letra O =2

 

Combinaciones

Una combinación permite calcular el número de resultados experimentales cuando de un conjunto de n objetos se seleccionan r objetos, sin que importe el orden de selección (los mismos r objetos acomodados en orden diferente se consideran un mismo resultado).

 

Ejemplo 1. De un grupo de 6 personas solicitantes se va a contratar  a 4 personas ¿Cuántos grupos diferentes de 4 personas se pueden contratar?

Sean n = 6   y r = 4

.

Ejemplo 2. Un estudiante debe contestar 6 preguntas de un total de 10 preguntas en un examen. ¿Cuántas maneras tiene de contestar?

a) Sin restricciones
Sean n = 10  y r = 6  

 

b) Las tres primeras son obligatorias
Como tres son obligatorias solo quedan 7, de esas solo puede elegir 3 para completar sus 6 preguntas
Sean  n = 7   y r = 3     

 
 

Ejemplo 3. En un grupo de 30 personas formado por 18 mujeres y 12 hombres se eligen a 5 para realizar un viaje. Calcule cuantos grupos se pueden formar si:
 

a) no hay restricciones

n = 30    y  r = 5,

b) debe haber exactamente 3 mujeres 

Conviene separar la elección de mujeres y de hombres (si son 3 mujeres entonces hay 2 hombres)

c) debe haber 4 hombres
Nuevamente separamos la elección de mujeres y de hombres (si son 4 hombres entonces hay 1 mujer)

Ejercicios.
 

A. De Permutaciones
 

1. ¿Cuántos códigos de 5 caracteres se pueden formar considerando que todos los caracteres en el código deben de ser diferentes, y que los caracteres a utilizar son 3, 6, T, 7, U?

 
2. En un torneo de futbol americano, toman parte 6 equipos. Encontrar el número de maneras en que se pueden decidir los 3 primeros lugares, si los empates no se permiten.

3. Suponga que hay ocho tipos de computadora pero sólo hay tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda. ¿De cuántas maneras diferentes pueden llenarse los tres espacios disponibles?

 
4. ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra INSTITUTO?

¿Cuantas permutaciones se pueden hacer que comiencen con la letra N?

¿Cuantas permutaciones se pueden hacer que terminen con la letra O?

5. ¿Cuántos códigos de 7 caracteres se pueden formar empleando letras y dígitos, considerando que el alfabeto tiene 26 letras y no se distingue entre minúscula y mayúsculas

a) sin repetición?

b) con repetición?
 

B. De  Combinaciones

1. La tienda de regalos en un hotel tiene 15 postales distintas. ¿De cuantas maneras puede seleccionar un cliente 4 de estas postales?

2. ¿De cuantas formas distintas un jefe de recursos humanos puede seleccionar 3 recepcionistas de 9 solicitantes y 2 telefonistas de 7 solicitantes?

3. Juanita invitó a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos, pero sólo puede pasar a la mesa a 6 personas

a. ¿De cuántas maneras los puede pasar a la mesa? si no le importa como queden acomodados.
b. Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. ¿De cuántas maneras los puede pasar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.

4. Una caja de 12 pilas alcalinas, para aparatos de transistores, contiene 3 que están defectuosas. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 de estas pilas? de manera que:

a) No se incluya ninguna de las pilas defectuosas.
b) Se incluya exactamente una de las baterías defectuosas.

5. Una clase consta de 9 hombres y 3 mujeres, de cuantas maneras un profesor puede escoger un comité de 4 integrantes si:

a) no hay restricciones

b) debe haber 2 mujeres

c) solo hay hombres

d) debe haber mínimo una mujer

Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Walpole, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México, D. F.