Distribución de probabilidad de Poisson

Otra variable aleatoria discreta que tiene numerosas aplicaciones cotidianas es la variable aleatoria de Poisson, la cual se suele usar para estimar el número de veces que sucede un hecho determinado en un intervalo de tiempo o de espacio.
 
Una variable aleatoria discreta puede ser descrita por la distribución de probabilidad de Poisson, si cumple las siguientes condiciones:

1.      La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualesquiera dos intervalos de la misma magnitud.

2.      La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia no-ocurrencia en cualquier otro intervalo. 

En la distribución de Poisson, nos interesa el número de ocurrencias X durante cierto intervalo, donde X puede tomar los valores 0, 1, 2, … . , es decir que no  tiene límite superior.

Algunos ejemplos donde se emplea la distribución de Poisson son:
 

Ø  El número de llamadas recibidas por un conmutador durante un tiempo determinado
Ø  El número de bacterias por volumen en cierto fluido
Ø  El número de llegadas de clientes al mostrador de una tienda en una hora determinada
Ø  El número de descomposturas de una máquina durante un día determinado
Ø  El número de accidentes de tránsito en una carretera durante un tiempo determinado
Ø  El número de desperfectos en un metro de tela
 

Distribución de probabilidad de Poisson

Sea µ el número promedio de veces que ocurre un evento en cierto tiempo o espacio. La probabilidad de que ocurran x sucesos es

µ = es la media de eventos que ocurren en el intervalo            x = número de  sucesos deseado
e = 2.7182… base de los logaritmo naturales   (algunos autores emplean el símbolo λ en lugar de μ)

La media (esperanza) y desviación estándar de la distribución de Poisson están dadas por:

Ejemplo 1. La gerencia de una tienda sabe por medio de estudios que en promedio llegan 10 clientes en un lapso de 30 minutos. Calcular la probabilidad de que:
a) lleguen 5 clientes en 30 minutos

Sea X el número de clientes que llegan en 20 minutos. Entonces µ = 10 y  x = 5.



b) lleguen 8 clientes en 30 minutos
Entonces µ = 10 y  x = 8

 

c) lleguen 2 clientes en 15 minutos
En esta caso cambio el intervalo de tiempo de 30 a 15 minutos por lo que el promedio de clientes también cambia, llamemos μ₂  al nuevo promedio se calcula por medio de la razón

 

 

 

 

d) no lleguen clientes en 5 minutos

En esta caso cambio el intervalo de tiempo de 30 a 5 minutos por lo que el promedio de clientes también cambia, llamemos μ₃  al nuevo promedio se calcula por medio de la razón

 

e) Calcular la media y desviación estándar

Ejemplo 2. En una autopista la media de baches es de siete por cada kilómetro de carretera. Durante un kilómetro determinado, ¿cuáles son las probabilidades de que
 
a) tenga exactamente cuatro baches?
Sea X el número de baches en un kilómetro. Entonces µ = 7 y  x = 4

b) tenga más de dos baches?

Entonces µ = 7, y más de dos es k = 3, 4, 5,.. , calculamos el complemento que es x = 0, 1 y 2


La probabilidad pedida es (X > 2) = 1 - 0.0009 - 0.0063 – 0.0223 = 0.9705

c) Calcular la media y desviación estándar

Aproximación de la binomial con Poisson

En la distribución binomial cuando el número de repeticiones n es grande y la probabilidad de éxito p es pequeña, el cálculo de la probabilidad binomial resulta muy laborioso; en algunos casos la distribución de Poisson puede dar una aproximación sencilla, fácil de calcular y precisa de la binomial, si se cumple que μ = (n) (p) < 7.

Ejemplo 3. La probabilidad de que una persona porte una cierta enfermedad es de p = 0.002, si se toma una muestra aleatoria de 1500 personas, ¿cuál es la probabilidad de que cinco porten la enfermedad?

Sea la variable aleatoria X: número de portadores . Aplicando la binomial tenemos: n = 1500,   x = 5,  éxito: sea portador con p = 0.002,  fracaso: no sea portador con q = 1 - 0.002 = 0.998

 

 

este valor puede ser difícil de calcular sin calculadora o tablas.

 

Intentémoslo con Poisson, primero calculamos la media μ = n p =1500 (0.002) = 3, como es menor de 7 podemos usar Poisson, sea x = 5 entonces

La aproximación es exacta hasta los primeros cuatro decimales.


Ejemplo 4. Suponiendo que 1 de cada 200 autos que circulan en la autopista México–Toluca sufren una falla mecánica, determinar la probabilidad de que en un día cualquiera, de mil autos en circulación tengan fallas mecánicas entre cuatro y siete autos.

Sea la variable X: número de autos con fallas,     n = 1000, 

éxito: auto tenga fallas con p = 1/200= 0.005,  fracaso: no tenga fallas con q = 1 - 0.005 = 0.995

Primero calculamos la media μ = n p =1000 (0.005) = 5, como es menor de 7 podemos usar Poisson, con x = 4, 5, 6 y 7

La probabilidad pedida es (4 ≤ X ≤ 7) = 0.1754 + 0.1754 + 0.1462 + 0.1044 = 0.6014




Calculo de probabilidades de Poisson mediante tablas

Al igual que en la binomial también existen tablas que permiten obtener la probabilidad de Poisson.


Para usar la tabla se requieren los valores de µ y x

En el ejemplo 1 inciso a, tenemos µ = 10 y  x = 5, y el resultado es de 0.0378

En la tabla ubicamos µ=10 y nos desplazamos hacia abajo a la fila de x= 5 y obtenemos el mismo resultado 0.0378

Desafortunadamente tampoco hay tablas para todos los valores de µ y x, por lo que en ocasiones se debe recurrir directamente a la fórmula.

Calculo de probabilidades de Poisson con Excel
La hoja de cálculo de Excel también nos permite calcular la probabilidad de Poisson, realizando los siguientes pasos:
1. Abrir Excel y vamos al menú de fórmulas
2. Damos clic a la opción de más funciones y seleccionamos estadísticas
3. Desplazamos el menú que se abre hacia abajo hasta localizar la función POISSON.DIST
4. En la ventana que se abre introducimos los valores de µ en media, x en x, y en la parte de acumulado escribimos falso para que nos de únicamente el valor de x

 

Tomando de nueva cuenta el ejemplo 1 inciso a, con µ = 10 y  x = 5, obtenemos un resultado es de 0.0378 que es prácticamente igual al resultado que obtuvimos usando la fórmula.

 

Una ventaja de Excel sobre la tabla es que podemos usarlo para cualquier n y p.

 

Ejercicios.

1. El número de errores mecanográficos hechos por una secretaria tiene una distribución de Poisson con un promedio de cuatro errores por página. Si en una página se dan más de cuatro errores, la secretaria debe volver a escribir toda la página. ¿Cuál es la probabilidad de que una página seleccionada al azar no tenga que volver a ser escrita?

2. Una telefonista de un centro de atención atiende una media de 48 llamadas por hora. Calcule la probabilidad de que

a) reciba 60 llamadas en una hora
b) reciba 40 llamadas en una hora
c) reciba cinco llamadas en un lapso de 5 minutos.
d) recibir 10 llamadas en un lapso de 15 minutos.
e) La media y la desviación estándar.

3. Según una aseguradora cada año ocurren en promedio 15 accidentes en una empresa, calcule la probabilidad de que:

a) En un año se registren 10 accidentes
b) En un año se registre menos de 4 accidentes
c) En un semestre se registren 5 accidentes
d) En un mes no se registren accidentes

4. Un vendedor ha encontrado que la probabilidad de una venta en un solo contacto es de 3 de cada 100 intentos. Si el vendedor hace contacto con 200 posibles clientes, ¿cuál es la probabilidad aproximada de hacer al menos una venta?

 
5. Supóngase que el 2% de los empleados de cierta compañía tienen casa propia. Si esta compañía tiene 250 empleados, determinar la probabilidad de que tengan casa propia:
a) Exactamente 10 empleados
b) Al menos dos empleados
c) Entre cinco y nueve empleados

6. 1700 votantes deben decidir sobre la construcción de un centro comercial. Si la probabilidad de que una persona vote en favor de la construcción es de 0.001, determinar la probabilidad de que voten en favor de la construcción del centro comercial:

a) Menos de dos votantes
b) Ningún votante
c) Al menos tres votantes

Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Walpole, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México, D. F.