domingo, 12 de enero de 2014

Distribución de probabilidad Binomial

Experimento Binomial
Se pueden hallar distribuciones de probabilidad en numerosas situaciones cotidianas, sin embargo algunas de ellas sirven como modelos para un gran número de estas aplicaciones, una de ellas es la distribución binomial.

Un experimento es binomial si cumple con las siguientes propiedades:
1.      El experimento consiste en n repeticiones idénticas.
2.      En cada intento o repetición solo hay dos resultados, uno llamado éxito y el otro fracaso.
3.      La probabilidad de éxito p y la de fracaso q  (1- p) es igual en cada repetición.
4.      Las repeticiones son independientes entre sí.

En este tipo de experimentos lo que nos interesa es el número de éxitos x que se pueden obtener en las n repeticiones, donde x = 0,1, 2…..n, como los valores son finitos X es una variable aleatoria discreta y su distribución de probabilidad se denomina binomial.

Algunos ejemplos donde se emplea la distribución binomial son:
Ø  Al realizar un control de calidad la cantidad de artículo es defectuoso o en buen estado
Ø  Al analizar a un paciente si presenta una enfermedad o este sano
Ø  Al seleccionar a una persona que sea hombre o sea mujer
Ø  En una elección si la persona vota por un candidato o no
Ø  Al probar una nueva medicina si esta cura o no la enfermedad

Distribución de probabilidad binomial
En un experimento binomial, la probabilidad de x éxitos en n intentos esta dada por:
 
p = probabilidad de éxito                q = 1 – p,  probabilidad de fracaso
n = número de repeticiones        x = número de éxitos deseados         C = combinaciones de n en x

La media (esperanza) y desviación estándar de la distribución binomial están dadas por:
 
Ejemplo 1. En un tiempo se ha observado que un jugador profesional de baloncesto puede hacer un tiro libre en un intento determinado con probabilidad igual a 0.8. Suponga que  lanza cuatro tiros libres.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste exactamente tres tiros libres?
Sea la variable aleatoria X: número de tiros libres encestados. Entonces: n = 4 ,   x = 3   , 
éxito: encestar la canasta con p = 0.8  ,   fracaso: fallar con q = 1 - 0.8 = 0.2
 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste al menos un tiro libre?
Al menos uno significa uno o más es decir que pueden ser 1, 2,  3 o 4. Calculamos la probabilidad de cada valor
La probabilidad pedida es (X ≥ 1) = 0.0256 + 0.1536 + 0.4096 + 0.4096 = 0.9984
Una alternativa más rápida es calcular la probabilidad del complemento, es decir la probabilidad de que no encesté ningún tiro, esto es X = 0
 
La probabilidad (x ≥ 1) = 1 – p(x = 0) = 1 - 0.0016 = 0.9984   (mismo resultado que de la otra forma)
 
c) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste menos de cuatro tiros libres?
p(x < 4) = p(x = 0) + p(x = 1) + p(x = 2) + p(x = 3) , de nueva cuenta es más sencillo calcular el complemento que es X = 4, la cual ya tenemos nos queda 
p (x < 4) = 1 - p(x = 4) = 1 - 4096 = 0.5904
 
d) Calcular la media y desviación estándar
 
Ejemplo 2. Suponga que un lote de 5000 aparatos eléctricos contiene 5% de artículos defectuosos. Si se toma una muestra de 5 aparatos, encuentre la probabilidad de hallar
 
a) ningún defectuoso
Sea la variable aleatoria X: número de aparatos defectuosos. Entonces:
n = 5,  x = 0,  éxito: sea defectuoso con p = 5% = 0.05  ,  fracaso: este bien con q = 1 - 0.05 = 0.95
b) a lo más uno defectuoso
A lo más uno significa uno o menos es decir que pueden ser 0 o 1. Como ya tenemos la de X= 0 solo falta calcular la de X = 1
La probabilidad pedida es (X ≤  1) = 0.7737 + 0.2036 = 0.9773
 
c) Calcular la media y desviación estándar
Ejemplo 3. De acuerdo con una encuesta uno de cada cuatro personas sufre de gripa en invierno. Si en una tienda coinciden 10 personas encuentre la probabilidad de
 
a) tres tengan gripa
Sea la variable aleatoria X: número personas con gripa. Entonces:
n = 10,   x = 3,  éxito: tenga gripa con p = ¼  = 0.25  ,  fracaso: este sana con q = 1 - 0.25 = 0.75
b) más de uno tenga gripa
Más de uno significa que pueden ser 2, 3…10. Calculamos el complemento que es X = 0 y 1.
La probabilidad pedida es (X > 1) = 1 - 0.0563 - 0.1877 = 0.7560
 
c) Calcular la media y desviación estándar
 
Calculo de probabilidades binomiales mediante tablas
En la actualidad ya existen tablas que permiten obtener la probabilidad de obtener k éxitos en n ensayos de un experimento binomial, estas tablas son más fáciles y rápidas de usar que la fórmula binomial.
 
 
Para usar la tabla se requieren los valores de n, p y x, en el ejemplo 3 inciso a, tenemos n = 10,   x = 3,  y p = 0.25
 
En la tabla ubicamos la fila de n=10 y x=3, después no desplazamos a la derecha hasta la columna de p = 0.25 y obtenemos un resultado de  0.2503, que es prácticamente igual al resultado de 0.2502 que obtuvimos usando la fórmula.
 
 
 
 
 
Existen otras tablas llamadas acumuladas en las cuales el valor de la probabilidad es la suma de todas las anteriores, en ellas para calcular la probabilidad de un valor x se debe restar el valor anterior.
Desafortunadamente no hay tablas que tengan todos los valores de n y p de un experimento binomial, por lo que en ocasiones se debe recurrir directamente a la fórmula.
 
Calculo de probabilidades binomiales con Excel
Otra alternativa para calcular probabilidades binomiales es la hoja de cálculo de Excel que cuenta con varias fórmulas estadísticas. Para emplear la función binomial realizamos los siguientes pasos:
1. Abrir Excel y vamos al menú de fórmulas
2. Damos clic a la opción de más funciones y seleccionamos estadísticas
3. Desplazamos el menú que se abre hacia abajo hasta localizar la función DISTR.BINOM.N
4. En la ventana que se abre introducimos los valores de n en ensayos, x en éxitos y p en probabilidad, y en la parte de acumulado escribimos falso para que nos dé únicamente el valor de x
Tomando de nueva cuenta el ejemplo 3 inciso a, con  n = 10,   x = 3,  y p = 0.25, obtenemos un resultado de  0.2502 que es prácticamente igual al resultado que obtuvimos usando la fórmula.
 
Una ventaja de Excel sobre la tabla es que podemos usarlo para cualquier n y p.
 
 
 
 
 
 
Ejercicios.
1. Por experiencia se sabe que 30% de una población apoya a cierto partido político, si se toma un grupo de diez personas al azar, calcular la probabilidad de que
a) al menos nueve apoyen a ese partido
b) exactamente cinco apoyen a ese partido
c) la media y la desviación estándar
 
2. La probabilidad de que un cobrador de microbús discuta con un pasajero en un viaje es de 0.35. Encontrar la probabilidad de que en seis viajes, discuta:
a) Exactamente una vez
b) Ninguna vez
c) Exactamente seis veces
d) Al menos dos veces
e) La media y la desviación estándar
 
3. Un examen tiene 15 preguntas, cada una con cinco opciones de las cuales solo una es correcta. Suponga que un alumno no estudio así que responde cada una de las preguntas de forma aleatoria.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente al menos diez preguntas?
b) ¿Cuál es la media y la desviación estándar?
 
4. De los donadores voluntarios de sangre en una clínica, 80% presentan factor Rh positivo en su sangre. Si cinco voluntarios se seleccionan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
a) al menos uno presente Rh+
b) a lo más cuatro presenten Rh+
c) exactamente 3 presenten Rh+
d) La media y la desviación estándar

Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Walpole, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México, D. F.

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