sábado, 18 de enero de 2014

Distribución de probabilidad Exponencial

La distribución exponencial aborda fenómenos cuya probabilidad se refiere a tiempo y distancias entre la ocurrencia de experimentos con respecto a un intervalo continuo.

Al estudiar la distribución de Poisson calculamos la probabilidad de que un evento ocurriera x veces durante un periodo de tiempo o espacio. Sin embargo en muchas aplicaciones la variable aleatoria de interés es la cantidad de tiempo o de espacio entre la ocurrencia de los eventos, por ejemplo el tiempo antes de la llegada del primer cliente al mostrador, la distancia entre dos averías en una carretera, etc., en este caso se dice que la variable sigue una función de densidad de probabilidad exponencial.

La función de densidad de la distribución exponencial esta generada por la fórmula :
La media de la distribución exponencial λ es el recíproco de la media μ de la distribución de Poisson, lo cual tiene sentido ya que si en la unidad de tiempo ocurren en promedio μ eventos entonces el tiempo promedio de separación entre cada evento es de 1 / μ = λ.

Su gráfica tiene la siguiente forma:



 
 
 
Distribución de probabilidad exponencial

Sea λ el tiempo o espacio promedio entre eventos, la probabilidad de que un suceso ocurra o no ocurra dentro del intervalo X0 es:
Donde:    λ =  valor medio entre eventos,     X0 = valor dado del intervalo,     e    = 2.7182…
La media y desviación estándar de la distribución exponencial tienen el  mismo valor:
Media = Desviación estándar  = λ

Ejemplo 1. Sea la variable x el tiempo para cargar un camión, el cual sigue una distribución exponencial con un tiempo promedio de 15 minutos. Calcular la probabilidad de que la carga de un camión tarde

a) menos de 10 minutos
Sea λ= 15 minutos,  X0 = 10 minutos


b) más de 18 minutos
Sea λ = 15 minutos,  X0 = 18 minutos.


c) Entre 8 y 12 minutos
Calculamos cada extremo por separado

El resultado es p (8 < x < 12) = p(x < 12) – p(x < 8) = 0.5507 – 0.4114 = 0.1393

d) La media y la desviación estándar
Media  = λ = 15       ,       Desviación estándar  σ = 15      

Ejemplo 2. Se ha comprobado que el tiempo de vida de una maquina sigue una distribución exponencial con media de 8 años.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que a una maquina nueva dure menos de 12 años?
Sea λ = 8 años,  X0 = 12 años.

b) ¿cuál es la probabilidad de que le dure  más de 10 años?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que le dure entre 5 y 17 años?

El resultado es p (5 < x < 17) = p(x < 17) – p(x < 5) = 0.8806 – 0.4648 = 0.4158

Ejercicios.

1. En una preparatoria el tiempo de recorrido promedio que realizan los alumnos de su casa a la escuela es de 36.5 minutos. Si este tiempo sigue una distribución de probabilidad exponencial, calcule la probabilidad de que un alumno
a) necesite entre 20 y 40 minutos para llegar a la escuela
b) necesite más de 40 minutos para llegar a la escuela

2. Se sabe que una colonia el gasto mensual de agua por familia tiene una distribución exponencial con media de 20 metros cúbicos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia consuma menos de 15 metros cúbicos al mes?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo mensual de agua de una familia rebase los 40 metros cúbicos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo mensual de agua de una familia sea de 30 a 50 metros cúbicos?

3. El tiempo de vida en horas de un dispositivo electrónico es una variable aleatoria exponencial con una media de 50 horas. Calcular la probabilidad de que un dispositivo:
a) falle en las primeras 25 horas de funcionamiento
b) funcione 100 o más horas sin fallar

Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Walpole, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México, D. F.

4 comentarios :

  1. Sería excelente que pudieran colocar las respuestas de los ejercicios para así poder comprobar.

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    Respuestas
    1. 1a) R = 0.2439 , 1b) R = 0.3342
      2a) R = 0.5276 , 2b) R = 0.1353 , 2c) R = 0.1411
      3a) R = 0.3934 , 3b) R = 0.1353

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  2. En general que me indica la Desviación estándar?.

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  3. Es una medida de dispersión y por tanto te indica cuanto pueden alejarse los datos respecto al promedio o media, para calcularla se toma un promedio de las desviaciones individuales de cada dato respecto a la media.

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