Al estudiar la distribución de Poisson
calculamos la probabilidad de que un evento ocurriera x veces durante un periodo
de tiempo o espacio. Sin embargo en muchas aplicaciones la variable aleatoria de
interés es la cantidad de tiempo o de espacio entre la ocurrencia de los
eventos, por ejemplo el tiempo antes de la llegada del primer cliente al
mostrador, la distancia entre dos averías en una carretera, etc., en este caso
se dice que la variable sigue una función de densidad de probabilidad exponencial.
La función de densidad de
la distribución exponencial esta generada por la fórmula :
Su gráfica tiene la siguiente forma:
Distribución de probabilidad exponencial
Sea λ el tiempo o espacio promedio entre
eventos, la probabilidad de que un suceso ocurra o no ocurra dentro del
intervalo X0 es:
Donde: λ = valor medio entre eventos, X0 = valor dado del
intervalo, e = 2.7182…
La media y desviación estándar de la
distribución exponencial tienen el mismo
valor:
Media = Desviación estándar
= λEjemplo 1. Sea la variable x el tiempo para cargar un camión, el cual sigue una distribución exponencial con un tiempo promedio de 15 minutos. Calcular la probabilidad de que la carga de un camión tarde
a) menos de 10 minutos
Sea λ= 15 minutos, X0 = 10 minutos
b) más de 18 minutos
Sea λ = 15 minutos, X0 = 18 minutos.
c) Entre 8 y 12 minutos
Calculamos cada extremo por separado
El resultado es p (8 < x < 12) = p(x < 12) – p(x < 8) = 0.5507 – 0.4114 = 0.1393
d) La media y la desviación estándar
Media = λ = 15 , Desviación estándar σ = 15
Ejemplo 2. Se ha comprobado que el tiempo de vida de una maquina sigue una distribución exponencial con media de 8 años.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que a una maquina nueva dure menos de 12
años?
Sea λ = 8 años, X0 = 12 años. 
b) ¿cuál es la probabilidad de que le dure más de 10 años?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que le dure entre 5 y 17 años?
El resultado es p (5 < x < 17) = p(x < 17) – p(x < 5) = 0.8806 – 0.4648 = 0.4158
Ejercicios.
1. En una preparatoria el tiempo de recorrido
promedio que realizan los alumnos de su casa a la escuela es de 36.5 minutos.
Si este tiempo sigue una distribución de probabilidad exponencial, calcule la
probabilidad de que un alumno
a) necesite entre 20 y 40 minutos para llegar
a la escuelab) necesite más de 40 minutos para llegar a la escuela
2. Se sabe que una colonia el gasto mensual de
agua por familia tiene una distribución exponencial con media de 20 metros
cúbicos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia
consuma menos de 15 metros cúbicos al mes?b) ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo mensual de agua de una familia rebase los 40 metros cúbicos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo mensual de agua de una familia sea de 30 a 50 metros cúbicos?
3. El tiempo de vida en horas de un dispositivo
electrónico es una variable aleatoria exponencial con una media de 50 horas.
Calcular la probabilidad de que un dispositivo:
a) falle en las primeras 25 horas de
funcionamientob) funcione 100 o más horas sin fallar
Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Walpole, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México, D. F.
Sería excelente que pudieran colocar las respuestas de los ejercicios para así poder comprobar.
ResponderEliminar1a) R = 0.2439 , 1b) R = 0.3342
Eliminar2a) R = 0.5276 , 2b) R = 0.1353 , 2c) R = 0.1411
3a) R = 0.3934 , 3b) R = 0.1353
En general que me indica la Desviación estándar?.
ResponderEliminarEs una medida de dispersión y por tanto te indica cuanto pueden alejarse los datos respecto al promedio o media, para calcularla se toma un promedio de las desviaciones individuales de cada dato respecto a la media.
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