viernes, 10 de enero de 2014

Variable aleatoria y distribución de probabilidad

Variable aleatoria

Al abordar el tema de estadística definimos una variable como la característica que nos interesaba estudiar de una población, además mencionamos que esta podía ser cualitativa o cuantitativa. Al realizar un experimento aleatorio puede ser que los resultados sean de tipo cualitativo o cuantitativo, por ejemplo al lanzar una moneda los resultados son cualitativos (águila y sol)  mientras que al lanzar un dado tenemos resultados cuantitativos (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Una ventaja de las variables cuantitativas o numéricas es que puede analizarse su comportamiento por medio de las medidas centrales y de variación. Por esta razón es deseable tratar de expresar esos resultados cualitativos en forma cuantitativa o numérica, para ello se emplean las variables aleatorias.

Variable aleatoria es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral. Se le llama así porque su valor cambia dependiendo del resultado del experimento que se mida.
 
Por ejemplo podemos definir las siguientes variables aleatorias:

Ø  En el caso del dado es lógico definir  la variable aleatoria X como el valor de la cara del dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ø  En el caso de la moneda podemos asignar la variable aleatoria Y como: 0 si cae sol, y 1 si cae águila (o bien 0 al águila y 1 al sol).
 
Ø  En el experimento del tipo de sangre de una persona podemos la siguiente variable aleatoria Z: 1 al tipo A, 2 al tipo B, 3 al tipo AB y 4 al tipo O.

Ø  Al lanzar dos dados se suele definir la variable aleatoria W: suma de las caras de los dados.

Estas variables no son únicas, tú puedes asignar otro orden, otros valores numéricos u otra definición en cada caso, lo importante es que se asocie un valor numérico a los resultados del experimento en especial a los cualitativos. Algunos ejemplos cotidianos del uso de variables aleatorias son:

·         X. Número de defectos en una pieza de mueble seleccionada al azar

·         Y: Calificación de examen de ingreso a la universidad seleccionado al azar

·         V: Número de llamadas telefónicas recibidas en un día al azar en un centro de atención al cliente

·         U: El número total de puntos anotados en un juego de fútbol americano

·         W: La altura que alcanza el agua durante un día de lluvia en cierto un lugar

·         T: El número de accidentes de auto que ocurren en un año

·         Z: La presión sanguínea de una persona

Al igual que en estadística las variables aleatorias se pueden clasificar como discretas o como continuas, de acuerdo con los valores que x pueda tomar.

Variable aleatoria discreta es aquella que puede tomar sólo un número limitado de valores.

Variable aleatoria continua  es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.

Distribución de Probabilidad
 
En la unidad 1 para analizar las variables empleamos la distribución de frecuencias, que nos proporciona información sobre los valores de la variable y su frecuencia, pues vamos a retomar esta herramienta pero combinada con el concepto de probabilidad, en lo que se llama la distribución de probabilidad, (algunos autores la llaman función de probabilidad), primeramente lo haremos para variables aleatorias discretas y posteriormente para las continuas.
 
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una tabla (fórmula o gráfica) que muestra los posibles valores de la variable aleatoria X, y la probabilidad p(x) asociada a cada valor x.



Una distribución de este tipo cumple las siguientes dos propiedades:
 
  1. 0 < p(x) < 1    (la probabilidad de cada valor esta entre 0 y 1)
  2. Σ p(x) = 1       (la suma de las probabilidades de todos los valores de X es igual a 1.
La importancia de la distribución de probabilidad es que numerosos experimentos muestran características similares y generan variables aleatorias con el mismo tipo de distribución de probabilidad, entonces al establecer la distribución de probabilidad de este tipo de variables aleatorias eliminamos la necesidad de resolver los mismos problemas una y otra vez.

Ejemplo 1. En un experimento se le pregunta a una persona el mes en que nació, el resultado es claramente cualitativo (enero, febrero, marzo…..), definamos la variable X: número del mes, entonces los valores de X van de 1 a 12 y la p(x) de cada valor es 1/12. La distribución de probabilidad queda:

X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P(x)
1/12
1/12
1/12
1/12
1/12
1/12
1/12
1/12
1/12
1/12
1/12
1/12

Es obvio que se cumplen las 2 propiedades ya que 0 < 1/12 < 1, y si sumamos todas las p(x) tenemos
Σ p(x) = 1/12 + 1/12 +1/12+1/12+1/12+1/12+1/12+1/12+1/12+1/12+1/12+1/12 = 12/12 = 1

La gráfica queda de la siguiente manera:

Este tipo de distribución de probabilidad se denomina como uniforme discreta, ya que le asigna a cada valor de la variable la misma probabilidad p(x)= 1/n  , donde n es el total de valores de la variable.

Ejemplo 2. Retomemos el ejemplo 1 de la regla de la multiplicación en el centro comercial el cajero donde se quiere saber la probabilidad de que los dos siguientes clientes paguen con tarjeta de crédito.
 
Sea la variable X: el número de clientes que pagan con tarjeta de crédito, los valores de X son 0, 1 y 2, y las probabilidades de cada uno ya están calculadas en los incisos, la distribución de probabilidad quedaría así:

X
0
1
2
P(x)
0.16
0.48
0.36
Nuevamente se cumplen las dos propiedades ya que las p(x) están entre 0 y 1 y su suma Σ p(x) = 0.36 + 0.16 + 0.48 = 1.

 La gráfica queda
 

Ejemplo 3. Al realizar una investigación acerca de las devoluciones en una tienda de autoservicio, se contó el número de devoluciones realizadas durante un año y se organizaron los datos en una tabla:

Sea X: es el número de devoluciones en un día

# de devoluciones
f
A la izquierda tenemos la distribución de frecuencia
 
A la derecha la misma tabla pero como distribución de probabilidad
X
P(X)
0
28
0
28 / 365 = 0.077
1
31
1
31 / 365 = 0.084
2
69
2
69 / 365 = 0.189
3
88
3
88 / 365 = 0.241
4
92
4
92 / 365 = 0.252
5
25
5
25 / 365 = 0.068
6
32
6
32 / 365 = 0.088
Total
365
Σ p(x)
0.999 = 1

 

 

 

 


La gráfica queda:
 
 
Ejercicios.

1. En un hospital se registró la cantidad de enfermos de hepatitis C que asisten en un mes, obteniendo la siguiente tabla:

# de enfermos
f
0
3
1
11
2
5
3
9
4
3
Total
31
          
a. Definir una variable aleatoria

b. Construir la distribución de probabilidad de la variable

 

 
2. En una encuesta de opinión sobre el gobierno se obtuvo la siguiente información:

Opinión
f
Mala
39
Regular
135
Buena
201
No contesto
25
Total
400
       
a. Definir una variable aleatoria

b. Construir la distribución de probabilidad de la variable

 

3. En un taller se presentan varias fallas en las maquinas durante un año, el supervisor con base en los datos establece la siguiente distribución de probabilidad para X: número de fallas diarias en la maquinaria:

X
0
1
2
3
4
5
P(x)
0.10
0.40
0.20
0.15
?
0.05
    Encuentre p(4)

 
4. Una variable aleatoria X puede tomar los siguientes valores: 0, 1, 2, 3, 4. Compruebe si las siguientes distribuciones de probabilidad son válidas indicando el porqué.

 a)
X
0
1
2
3
4
P (x)
.15
-.30
.40
0.15
.60


 
 
b)
X
0
1
2
3
4
P (x)
.10
. 40
.20
.35
.10

 


c)
X
0
1
2
3
4
P (x)
.10
.30
.30
.20
.10


 
Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Walpole, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México, D. F.

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