Al abordar el tema de estadística definimos una variable como la característica que nos interesaba estudiar de una población, además mencionamos que esta podía ser cualitativa o cuantitativa. Al realizar un experimento aleatorio puede ser que los resultados sean de tipo cualitativo o cuantitativo, por ejemplo al lanzar una moneda los resultados son cualitativos (águila y sol) mientras que al lanzar un dado tenemos resultados cuantitativos (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Una ventaja de las variables cuantitativas o
numéricas es que puede analizarse su comportamiento por medio de las medidas centrales y de variación. Por esta razón es deseable tratar
de expresar esos resultados cualitativos en forma cuantitativa o numérica, para
ello se emplean las variables aleatorias.
Variable
aleatoria es una función que
asocia un número real a cada elemento del espacio muestral. Se le llama así porque
su valor cambia dependiendo del resultado del experimento que se mida.
Por ejemplo podemos definir las siguientes
variables aleatorias:
Ø En el caso del dado es lógico definir
la variable aleatoria X como el valor de la cara del dado: 1, 2, 3, 4,
5, 6.
Ø En el caso de la moneda podemos asignar la variable aleatoria Y como: 0
si cae sol, y 1 si cae águila (o bien 0 al águila y 1 al sol).
Ø En el experimento del tipo de sangre de una persona podemos la siguiente variable aleatoria Z: 1 al tipo A, 2 al tipo B, 3 al tipo AB y 4 al tipo O.
Ø Al lanzar dos dados se suele definir la variable aleatoria W: suma de
las caras de los dados.
Estas variables no son únicas, tú puedes
asignar otro orden, otros valores numéricos u otra definición en cada caso, lo
importante es que se asocie un valor numérico a los resultados del experimento en
especial a los cualitativos. Algunos ejemplos cotidianos del uso de variables
aleatorias son:
·
X. Número de defectos en una pieza
de mueble seleccionada al azar
· Y: Calificación de examen de ingreso a la universidad seleccionado al azar
·
V: Número de llamadas telefónicas
recibidas en un día al azar en un centro de atención al cliente
·
U: El número total de puntos
anotados en un juego de fútbol americano
·
W: La altura que alcanza el agua
durante un día de lluvia en cierto un lugar
·
T: El número de accidentes de auto
que ocurren en un año
·
Z: La presión sanguínea de una
persona
Al igual que en estadística las variables
aleatorias se pueden clasificar como discretas o como continuas, de acuerdo con
los valores que x pueda tomar.
Variable
aleatoria discreta es aquella que puede tomar sólo un
número limitado de valores.
Variable
aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor
dentro de un intervalo.
Distribución
de Probabilidad
En la unidad 1 para analizar las variables empleamos
la distribución de frecuencias, que nos proporciona información sobre los valores
de la variable y su frecuencia, pues vamos a retomar esta herramienta pero
combinada con el concepto de probabilidad, en lo que se llama la distribución
de probabilidad, (algunos autores la llaman función de probabilidad), primeramente lo haremos para variables aleatorias discretas y posteriormente para las continuas.
La distribución de probabilidad
de una variable aleatoria discreta es una tabla (fórmula o gráfica) que muestra los posibles valores de la
variable aleatoria X, y la probabilidad p(x) asociada a cada valor x.
Una distribución de este tipo cumple las siguientes dos propiedades:
- 0 < p(x)
< 1 (la probabilidad de cada
valor esta entre 0 y 1)
- Σ p(x) = 1 (la suma de las probabilidades de todos los valores de X es igual a 1.
Ejemplo 1. En un experimento se le pregunta a una persona el mes en que nació, el resultado es claramente cualitativo (enero, febrero, marzo…..), definamos la variable X: número del mes, entonces los valores de X van de 1 a 12 y la p(x) de cada valor es 1/12. La distribución de probabilidad queda:
X
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
P(x)
|
1/12
|
1/12
|
1/12
|
1/12
|
1/12
|
1/12
|
1/12
|
1/12
|
1/12
|
1/12
|
1/12
|
1/12
|
Es obvio que se cumplen las 2 propiedades ya que 0 < 1/12 < 1, y si sumamos todas las p(x) tenemos
Σ p(x) = 1/12 + 1/12 +1/12+1/12+1/12+1/12+1/12+1/12+1/12+1/12+1/12+1/12 = 12/12 = 1
La gráfica queda de la siguiente manera:
Este tipo de distribución de probabilidad se denomina como uniforme discreta, ya que le asigna a cada valor de la variable la misma probabilidad p(x)= 1/n , donde n es el total de valores de la variable.
Ejemplo
2. Retomemos el ejemplo 1 de la regla de la
multiplicación en el centro comercial el cajero donde se quiere saber la
probabilidad de que los dos siguientes clientes paguen con tarjeta de crédito.
Sea la variable X: el número de clientes que
pagan con tarjeta de crédito, los valores de X son 0, 1 y 2, y las
probabilidades de cada uno ya están calculadas en los incisos, la distribución
de probabilidad quedaría así:
X
|
0
|
1
|
2
|
| P(x) |
0.16
|
0.48
|
0.36
|
Ejemplo 3. Al realizar una investigación acerca de las devoluciones en una tienda de autoservicio, se contó el número de devoluciones realizadas durante un año y se organizaron los datos en una tabla:
Sea X: es el número de devoluciones en un día
# de devoluciones
|
f
|
A la
izquierda tenemos la distribución de frecuencia
A la
derecha la misma tabla pero como distribución de probabilidad
|
X
|
P(X)
|
0
|
28
|
0
|
28 / 365 = 0.077
|
|
1
|
31
|
1
|
31 / 365 = 0.084
|
|
2
|
69
|
2
|
69 / 365 = 0.189
|
|
3
|
88
|
3
|
88 / 365 = 0.241
|
|
4
|
92
|
4
|
92 / 365 = 0.252
|
|
5
|
25
|
5
|
25 / 365 = 0.068
|
|
6
|
32
|
6
|
32 / 365 = 0.088
|
|
Total
|
365
|
Σ p(x)
|
0.999 = 1
|
1. En un hospital se registró la cantidad de
enfermos de hepatitis C que asisten en un mes, obteniendo la siguiente tabla:
# de enfermos
|
f
|
0
|
3
|
1
|
11
|
2
|
5
|
3
|
9
|
4
|
3
|
Total
|
31
|
a. Definir una variable aleatoria
b. Construir la distribución de probabilidad
de la variable
Opinión
|
f
|
Mala
|
39
|
Regular
|
135
|
Buena
|
201
|
No contesto
|
25
|
Total
|
400
|
a. Definir una variable aleatoria
b. Construir la distribución de probabilidad
de la variable
3. En un taller se presentan varias fallas en
las maquinas durante un año, el supervisor con base en los datos establece la
siguiente distribución de probabilidad para X: número de fallas diarias en la
maquinaria:
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
| P(x) |
0.10
|
0.40
|
0.20
|
0.15
|
?
|
0.05
|
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
P (x)
|
.15
|
-.30
|
.40
|
0.15
|
.60
|
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
P (x)
|
.10
|
. 40
|
.20
|
.35
|
.10
|
c)
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
P (x)
|
.10
|
.30
|
.30
|
.20
|
.10
|
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
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