Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

Como vimos en el caso de la probabilidad condicional la probabilidad de un evento se puede ver alterada después de obtener información adicional. Las nuevas probabilidades se conocen como probabilidades a posteriori y el origen del concepto se le atribuye a Thomas Bayes, por lo que se le suele denominar ley o teorema de Bayes.

La utilidad de estas probabilidades es que pueden revisarse en la medida que hay más información, lo que adquiere gran valor para la toma de decisiones empresariales.

Teorema de Bayes: sea B un evento y B^C su complemento (información previa). Si otro evento A ocurre, entonces:

De lo anterior se puede deducir lo siguiente; si el evento B ocurre, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido generado por el evento A? (existen diversas formas de expresar el teorema de Bayes todas equivalentes entre sí, elegimos esta por la  simplicidad en su manejo).

Una forma práctica de trabajar con el teorema es representar los eventos previos y sus probabilidades mediante un árbol de probabilidades aplicando la regla de la multiplicación, a partir de esta información se aplica el teorema de Bayes.

Ejemplo 1. Un estudiante contesta una pregunta de opción múltiple de un examen que ofrece cuatro posibles respuestas. Suponga que la probabilidad de que el estudiante conozca la respuesta a la pregunta es 0.8 y la probabilidad de que el estudiante adivine es 0.2. Suponga que si el estudiante adivina, la probabilidad de que seleccione la respuesta correcta es 0.25. Entonces si el estudiante contesta correctamente una pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que realmente conozca la respuesta correcta? 

Nos piden la p (conozca la respuesta / contesto correctamente)

Primero elaboramos el árbol de probabilidades.

 

Tenemos como información previa que

p (conoce respuesta) = 0.80 

p (adivina respuesta) = 0.20

p (respuesta correcta / si adivina) = 0.25

 

La información adicional es que contesta correctamente, esto tiene dos posibilidades

- Conoce la respuesta y responde correctamente

- Adivina y responde correctamente,

Entonces p (correcta) = 0.80+0.05 = 0.85

Aplicando el teorema de Bayes tenemos

Ejemplo 2. Una fábrica produce sus artículos con tres máquinas A, B y C, las cuales producen respectivamente: 50%, 30% y 20%. Los desperfectos de producción de cada máquina son de 3%, 4% y 5% respectivamente, sí seleccionamos al azar un artículo.

a) Hallar la probabilidad de que el artículo sea defectuoso

Primero elaboramos el árbol de probabilidades:

P (defectuoso) =

P (A y defecto) + P (B y defecto) + P (C y defecto) = 0.015 + 0.012 + 0.010 = 0.037

b) Hallar la probabilidad de que si el artículo está bien, que haya sido producido por la máquina A.

Nos piden la p (provenga de A / está bien)

Tenemos como información previa que

La p (provenga maquina A) = 0.50 y y además P (Bien / proviene de A) = 0.97

 
La información adicional es que el artículo está bien

P (bien) = 1 – p (defectuoso) 1- 0.037 = 0.963 

Aplicando el teorema de Bayes tenemos

Ejercicio

1. En dos escuelas A y B, se imparte un mismo diplomado, el porcentaje de no aprobados en A es 20% y en B de 10%, pero B es más costoso y por tanto solo un 30% de los estudiantes acuden a ella (el resto acude a A). Un trabajador asistió al diplomado pero no lo aprobó ¿Cuál es la probabilidad de que haya asistido a la escuela A?

2. México importa el 45% de bicicletas de Italia, el 20% de Holanda y el resto se fábrica en el país, sí se sabe que el 4% de las bicicletas de Italia, el 5% de las de Holanda y el 8% de las del país son defectuosas, sí se escoge una bicicleta al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
b) Si la bicicleta es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que sea del país?

Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Walpole, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México, D. F.