Distribución de probabilidad Continua Uniforme

Distribuciones Continuas de Probabilidad

Hasta ahora hemos trabajado con distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas, las cuales se caracterizan por tomar un número finito de valores, asignar una probabilidad positiva a cada valor y que la suma de todas las probabilidades sea igual a 1. Sin embargo las variables aleatorias continuas deben tratarse de manera diferente.

Una variable aleatoria continua  es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, esto implica que existe un número infinito de valores que la variable puede tomar, para darnos una idea de su comportamiento veamos la siguiente figura:

 

En la primera figura la variable aleatoria X (eje horizontal) toma pocos valores y su gráfica tiene la forma de un histograma, pero a medida que aumenta la cantidad de valores de la variable la amplitud de los intervalos se van haciendo cada vez más estrecha y el histograma adquiere la forma de una curva, esta curva describe la distribución de probabilidad de la variable aleatoria continua.

La curva que describe la probabilidad  de la variable aleatoria continúa X, es descrita mediante una fórmula matemática llamada función de densidad de probabilidad representada por f(x). La diferencia con la distribución de probabilidad es que la función de densidad de probabilidad calcula el área bajo la curva de f(x)  en un intervalo determinado.

 Para variables aleatorias continuas

          Área bajo la curva entre a y b

                               =
Probabilidad valor x este entre (a, b)

La función de densidad de probabilidad tiene las siguientes propiedades:

 

1. P(X = x) = 0    la probabilidad de cualquier valor determinado de la variable aleatoria es cero.

 

2. El área bajo la curva de una distribución continua de probabilidad es igual a 1.

Distribución Continua Uniforme

Si una variable aleatoria X puede tomar cualquier valor en un intervalo y además cada subintervalo tiene la misma probabilidad que cualquier otro subintervalo de igual longitud, se dice entonces que la variable aleatoria X tiene una distribución de probabilidad uniforme.

La probabilidad de que la variable aleatoria X este en el intervalo c < x < d está dada por:

Dónde:

a = Valor mínimo de la distribución.                          b = Valor máximo de distribución

c = Valor mínimo del subintervalo                             d = Valor máximo del subintervalo

 

La media y la varianza de la distribución uniforme son:

 

Ejemplo 1. La cantidad de litros de café diarios que sirve una máquina en el vestíbulo de un aeropuerto es una variable aleatoria X que tiene una distribución continua uniforme de 7 a 10 litros. Calcule la probabilidad de que en un día la cantidad de café que sirve esta máquina sea:

a) más de 7.4 litros pero menos de 9.5 litros

Establecemos los valores de la distribución y del subintervalo  a = 7  ,   b = 10  ,   c = 7.4  ,  d = 9.5

 

 

 

 

 b) a lo más 8.8 litros

 c) al menos 8.5 litros




d) La media y la desviación estándar
 





Ejemplo 2. Al cotizar los costos para transportar un embarque, una empresa fabricante de microcomputadoras encuentra que los costos están uniformemente distribuidos entre 20 y 25 mil pesos. Encuentre la probabilidad de que el costo

a) esté por debajo de $22,000.

Sean  a = 20 mil ,   b = 25 mil ,   c = 20 mil,  d = 22 mil




b) sea de más de $24,000.
Sean  a = 20 mil ,   b = 25 mil ,   c = 24 mil,  d = 25 mil




c) sea de $21 mil a $22,500
Sean  a = 20 mil  ,   b = 25 mil ,   c = 21 mil,  d = 22.5 mil




d) La media y la desviación estándar

 

 

Ejercicios.

1. Suponga que quiere comprar un terreno y sabe que también hay otros compradores interesados. Las ofertas X es una variable aleatoria que está uniformemente distribuida entre 10 000 y 15 000 pesos.

a) si ofreces 12 000 ¿Cuál es la probabilidad de que tu oferta sea aceptada?

b) si ofreces 14 000 ¿Cuál es la probabilidad de que tu oferta sea aceptada?

c) la media y la desviación estándar

 

2. Un autobús llega cada 10 minutos a una parada, Se supone que el tiempo de espera para un individuo en particular es una variable aleatoria con distribución continua uniforme.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo espere más de 7 minutos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo espere entre 2 y 7 minutos?

 

3. Una compañía productora de acero corta y vende tubos con medidas que van de 1 a 5 metros, estas medidas son las más demandadas en el mercado:

a) ¿Cuál es la medida promedio de un tubo?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un tubo sea mayor de 3 metros?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un tubo sea menor de 4 metros?

 

Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:

Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.

Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Walpole, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México, D. F.