Ley de la Multiplicación

Eventos Dependientes e Independientes

Como ya vimos en la probabilidad condicional, la probabilidad de un evento puede ser afectada por la ocurrencia de otro, cuando esto sucede se dice que los eventos son dependientes. Y por el contrario si la ocurrencia de uno de ellos no afecta al otro se dice que son eventos independientes.

En el ejemplo 1 de la condicional tenemos que los eventos sangre O y factor Rh- son dependientes, ya que la condición del factor Rh afecta la probabilidad de que la persona elegida tenga sangre tipo O.

De hecho en el ejemplo 3 de la condicional los eventos caiga sol y caiga 5 son independientes, el hecho de que en la moneda caiga sol no afecta en nada al dado, y la probabilidad de que caiga un 5 es la misma que si tiramos únicamente el dado( igual a 1/ 6).

Una forma de distinguir si dos eventos A y B son independientes es si se cumple que:

P (B | A)  = P(B)     o si     P (A | B)  = P(A)         (De otro modo los eventos son dependientes)

Ley de la Multiplicación

La ley de la multiplicación es útil para calcular la probabilidad de que ocurran los eventos A y B de forma conjunta, esta ley se basa en la definición de probabilidad condicional despejando P(A y B) tenemos:

Ejemplo 1. En un centro comercial el cajero por experiencia sabe que 60% de los clientes usan tarjeta de crédito para pagar sus compras

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos siguientes clientes paguen con tarjeta de crédito?

Sean los eventos
A = el primer cliente paga con tarjeta de crédito
B = el segundo cliente paga con tarjeta de crédito

Podemos suponer que A y B son independientes, ya que si un cliente usa la tarjeta no debe afectar que otro cliente la use. Por tanto la probabilidad buscada es

P(A y B) = P(A) P(B) = (0.60) (0.60) = 0.36

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos siguientes clientes no paguen con tarjeta de crédito?

Sean los eventos
C = el primer cliente no paga con tarjeta de crédito
D = el segundo cliente no paga con tarjeta de crédito

Nuevamente podemos suponer que A y B son independientes, y que P(C) = P(D) = 0.40

Por tanto la probabilidad buscada es P(C y D) = P(C) P(D) = (0.40) (0.40) = 0.16

c) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los dos siguientes clientes no paguen con tarjeta de crédito?

Este evento nos pide que solo uno pague con tarjeta pero no dice en qué orden, así que tenemos dos posibilidades:
- El primero paga con tarjeta y el segundo no paga con tarjeta (A y D)
- El primero no paga con tarjeta y el segundo paga con tarjeta (C y B)

Entonces la probabilidad buscada la podemos escribir como P (alguno pague con tarjeta) =

P(A y D) + P(C y B) = P(A) P(D) +  P(C) P(B) = (0.60) (0.40) + (0.40) (0.60) = 0.24 + 0.24 = 0.48

(Estos tres resultados forman el espacio muestral, podemos comprobarlo si sumamos las tres probabilidades, obteniendo 0.36 + 0.16 + 0.48 = 1)

Ejemplo 2. En una caja se tienen 20 fusibles, de los cuales 5 están defectuosos y los otros 15 en buen estado. Si se seleccionan 2 fusibles al azar uno después del otro, sin reemplazar el primero

a) ¿cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos?

Sean los eventos
A = el primer fusible esta defectuoso
B = el segundo fusible esta defectuoso

En este caso A y B son dependientes, ya que la probabilidad de que el segundo fusible sea defectuoso se ve afectada por el primero (si el primero es defectuoso entonces quedan 4 para la segunda elección, pero si el primero no es defectuoso entonces quedan 5 para la segunda elección)

La probabilidad de que el primero sea defectuoso es de 5/20, mientras que la probabilidad de que el segundo sea defectuoso sabiendo que el primero fue defectuoso es de 4/19.

(Si antes de hacer la segunda extracción se regresa o remplaza el primer fusible, entonces la probabilidad de que se extraiga un fusible defectuoso en la segunda selección sigue siendo 5/20, es decir que A y B serian independientes).

b) ¿cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén en buen estado?

Sean los eventos
C = el primer fusible está en buen estado
D = el segundo fusible está en buen estado
Nuevamente C y D son dependientes, ya que la probabilidad del segundo fusible se ve afectada por el primero. La probabilidad de que el primero este en buen estado es 15/20, mientras que la probabilidad de que el segundo este en buen estado sabiendo que el primero estaba en buen estado es 14/19.

 

c) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los dos fusibles sea defectuoso?

En este evento tenemos dos posibilidades:
El primero es defectuosos y el segundo en buen estado (A y D)
El primero en buen estado y el segundo es defectuoso (C y B)
 
Entonces la probabilidad buscada la podemos escribir como P (uno defectuoso) =

Ejercicios.

1. La probabilidad de que una persona en un centro comercial realice una compra es del 53%, calcule la probabilidad de que de los siguientes tres clientes:

a) los tres hagan una compra
b) ninguno haga una compra
c) uno realice una compra

2. Un profesor da clase de estadística a dos grupos uno de contaduría y otro de administración, en el primer grupo hay 21 aprobados y 13 reprobados, mientras que en el segundo grupo 18 aprobaron y 15 reprobaron. Si el profesor manda llamar a un alumno de cada grupo, calcular la probabilidad de que

a) los dos estén aprobados
b) los dos estén reprobados
c) uno de ellos este aprobado
 
3. Una empresa registro durante un año 3 meses con pérdidas económicas, 7 meses con ganancias y 2 meses en ceros. Si el SAT elige tres meses al azar para un ejercicio fiscal, calcular la probabilidad de que
a) los tres sean con ganancias
b) los tres sean con  perdidas
c) uno sea en ceros y dos con ganancia
d) sean uno en ceros, uno con pérdidas y otro con ganancias

4. Una empresa tiene dos sucursales en la primera trabajan 4 hombres y 3 mujeres como supervisores, mientras que en la segunda trabajan 3 hombres y 5 mujeres en el mismo puesto. Si se manda a una persona de la primera sucursal a la segunda ¿Cuál es la probabilidad de que seis meses después se despida a una mujer de la segunda sucursal?

Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Walpole, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México, D. F.