Técnicas de Conteo 1

Técnicas de Conteo: diagrama de árbol y principio multiplicativo

Al trabajar con el espacio muestral y las probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados de un experimento. A continuación revisaremos algunas reglas de conteo que son muy útiles para conocer el número de resultados.

 Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol es una representación gráfica que permite visualizar un experimento que consiste de varios pasos o etapas donde cada etapa tiene varias resultados o formas de realizarse.

Ø  La secuencia de los pasos en el diagrama suele ir de izquierda a derecha.

Ø  En cada paso los resultados posibles se representan mediante ramas.

Ø  Cada trayectoria a través del árbol, desde la izquierda hasta un punto de la derecha del árbol, muestra un resultado del espacio muestral.

Ejemplo 1. Elaborar un diagrama de árbol para el tipo de sangre y factor Rh  de una persona ¿Cuántas posibles combinaciones hay?

 

Hay 8 combinaciones

 

 

 

Ejemplo 2. Un estudiante tiene que seleccionar como materias optativas una actividad extraescolar entre baile, teatro, canto y guitarra, y un idioma entre inglés, francés e italiano. Elaborar un diagrama de árbol y determinar ¿Cuántas maneras distintas tiene de escoger?

 

 

 

 Hay 12 maneras de elegir

 

 

 

 

 

 Principio Multiplicativo

Si un experimento se realiza en k etapas, con n₁ formas para efectuar la primera etapa, n₂ formas para efectuar la segunda etapa, . . . , y n_k formas para efectuar la k-ésima etapa, entonces el número de formas para efectuar el experimento es   (n₁) (n₂) (n₃) … (n_k)

 

Ejemplo 1. El chofer de un camión debe viajar de la ciudad A a la ciudad D pasando por las ciudades B y C: de A hacia B existen tres rutas, de B a C existen cuatro rutas y de C a D existen 2 rutas, ¿cuántas rutas posibles existen de A hacia D?

Sean 

n₁ = número de rutas de A a B = 3 , n₂ = número de rutas de B a C = 4 , y n₃ = número de rutas de C a D = 2

Entonces, el número total de formas desde A  D es (n₁) (n₂) (n₃) = (3) (4) (2) = 24

Ejemplo 2. ¿Cuántos resultados hay en el espacio muestral al lanzar al aire tres monedas?

Cada moneda puede caer en una de dos formas. Por tanto, el número de resultados es (2) (2) (2) = 8

 

Ejemplo 3. Si Miguel tiene 5 pares de jeans y 10 playeras, ¿Cuántas combinaciones de ropa puede crear?

 Sean  n₁ = número de jeans = 5   y  n₂ = número de playeras = 10.

Entonces, el número total de formas de combinar ropa es (n₁)(n₂) = (5)(10) = 50

 

Ejemplo 4. Un código de identificación de un producto se forma con 4 dígitos (del 0 al 9). ¿Cuántos códigos diferentes se pueden formar? considerando que

a) si se pueden repetir los dígitos

Sean 

n₁ = primer digito = 10, ya que hay 10 dígitos posibles a colocar

n₂ = primer digito = 10, ya que se puede repetir el anterior

n₃ = primer digito = 10, …….

n₄ = primer digito = 10, ……………

Entonces, el número total de códigos es (n₁) (n₂) (n₃) (n₄) = (10) (10) (10) (10) = 10, 000

b) si no se pueden repetir los dígitos

Sean 

n₁ = primer digito = 10, ya que hay 10 dígitos posibles a colocar

n₂ = primer digito = 9, ya que no se puede repetir el anterior

n₃ = primer digito = 8, …….

n₄ = primer digito = 7, ……………

Entonces, el número total de códigos es (n₁) (n₂) (n₃) (n₄) = (10) (9) (8) (7) = 5040

Ejercicios
 

1. Un restaurant ofrece un menú en el que, por un costo fijo por comida, se puede escoger como entrada entre ensalada y sopa, como plato principal pollo, bistec, o pescado y para beber agua, refresco o vino. ¿Cuántas comidas diferentes hay? Elaborar un diagrama de árbol

2. Un helado puede servirse en vaso o en cono, los hay de sabor fresa, chocolate o vainilla, con cubierta de chocolate, caramelo, mermelada o sin cubierta. Elaborar un diagrama de árbol para las cuantas maneras se puede presentar el helado.

3. Un turista desea visitar 4 Estados de México, desea visitar en primer lugar El estado de Nuevo León, posteriormente Querétaro, después Hidalgo y el último Guanajuato; Si existen 7 rutas diferentes de Nuevo León a Querétaro, 6 rutas diferentes de Querétaro a Hidalgo y 8 rutas de Hidalgo a Guanajuato. ¿Cuántas alternativas o posibles rutas se le presentan al Turista para realizar su viaje?

 4. Si Diana tiene 5 faldas, 3 sacos, 4 blusas y 2 pares de zapatos ¿De cuántas maneras puede vestir asumiendo que todas las combinaciones son agradables?

 
5. Calcular el número posible de resultados en partidos que puede haber al llenar una boleta de pronósticos deportivos, sí hay 13 partidos y en cada uno hay tres posibilidades: ganar, perder o empatar.

Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Walpole, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México, D. F.