Distribución de probabilidad Geométrica

Sea un experimento con las mismas características del binomial es decir que este experimento comprende repeticiones idénticas e independientes, cada repetición tiene dos resultados (éxito o fracaso), la probabilidad de éxito es igual a p y la de fracaso es q, y son las mismas en cada repetición.

Pero ahora la variable aleatoria que nos interesa X es en que repetición ocurre el primer éxito, es decir que se repite el experimento hasta obtener el primer éxito, en esta situación se dice que la variable aleatoria sigue una distribución geométrica.

Analicemos un poco la situación en términos de éxito, fracaso y sus probabilidades p y q:

# de intento	Resultado	Probabilidad
1	E	p
2	F E	q p
3	F F E	(q) (q) (p) = q2 p
4	F F F E	(q) (q) (q) (p) = q3 p
. .	. .	. .
x	F F F F ….E	(q) (q) (q)…. (p) = q x - 1  p

La probabilidad de que el primer éxito ocurra en el x-ésimo intento está dada por:

x  = número de intento en que se da el primer éxito          
p = probabilidad de éxito                                              q = probabilidad de fracaso

La media (esperanza) y desviación estándar de la distribución geométrica están dadas por:

Ejemplo 1. Se sabe que en cierto proceso de fabricación uno de cada 100 artículos resulta defectuoso.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al inspeccionar un lote el quinto artículo que se inspecciona sea el primer defectuoso que se encuentra?

Sea la variable aleatoria X: intento en que sale el primer defectuoso. Entonces x = 5,
Éxito: articulo sea defectuos, p = 1/100 = 0.01,  fracaso: articulo este bien, q = 1 - 0.01 = 0.99

b) La media y la desviación estándar

 

Ejemplo 2. En horas de alta demanda un conmutador telefónico se satura por lo que los usuarios tienen dificultad para hacer sus llamadas, si la probabilidad de que una llamada entre al conmutador es de 0.05 determine la probabilidad de que una persona logre comunicarse en:

a) su tercer intento

Sea la variable aleatoria X: intento en que entra la llamada, entonces x = 3,
Éxito: llamada entre con p = 0.05,  fracaso: no entre llamada con q = 1 - 0.05 = 0.95

 

b) su octavo intento

c) la media y la desviación estándar

 

Ejercicios.

1. La probabilidad de que una persona que estudia la carrera de piloto privado apruebe el examen escrito para obtener la licencia es de 0.7. Calcule la probabilidad de que cierto estudiante apruebe el examen

a) en su primer intento
b) en el segundo intento
c) antes del cuarto intento
d) la media y la desviación estándar

2. De una población de consumidores, 60% tienen fama de preferir una marca particular, A, de pasta dental. Si se entrevista a un grupo de consumidores escogidos al azar, calcule la probabilidad de que el primer consumidor que prefiera la marca A sea

a) la quinta persona
b) la tercera persona
c) la sexta persona
d) la media y la desviación estándar
 

3. Un contador público ha encontrado que tres de cada cinco diez compañías auditadas contienen errores importantes. Si el contador hace auditoría a una serie de empresas, ¿cuál es la probabilidad de que la primera cuenta que contenga errores importantes sea:

a) la tercera en ser auditada?,
b) la quinta cuenta auditada?
c) ¿Cuáles son la media y la desviación estándar del número de cuentas que deben ser examinadas para hallar la primera con errores importantes?

Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.

Walpole, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México, D. F.