Teoría de Conjuntos

Definición  de conjuntos

El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor, y posteriormente por Augustus De Morgan y Arthur William Russell. Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.

Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:

1. La colección de elementos debe estar bien definida.
2. Ningún elemento se debe contar más de una vez, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.
3. El orden en que se enumeran los elementos carece de importancia.

Notación

A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C, y a los elementos con letras minúsculas a, b, c, .. entre llaves, por ejemplo sea el conjunto A cuyos elementos son los números al lanzar un dado

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección entre ellas depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias:

Por Extensión o enumerativa: Cuando se enuncia a cada uno de los elementos. V = {a, e, i, o, u}

Por Comprensión o descriptiva: Cuando se enuncia la propiedad que tienen los elementos. V = {x | x es una vocal} . El símbolo | se lee “tal que” y se usa para indicar la propiedad de los elementos.

Para indicar que un elemento está en un conjunto se utiliza el símbolo de pertenencia ϵ que significa “es elemento de”, en caso de que el elemento no pertenezca al conjunto se usa el símbolo

 Por ejemplo si tenemos el conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }  entonces   

 2  ϵ  A   

7  A

Tipos de conjuntos

En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto o cardinalidad, estos se pueden clasificar en conjuntos finitos e infinitos.

 

Finitos: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad. Por ejemplo: El conjunto de días de la semana.

Infinitos: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud. Por ejemplo: los números reales.

Conjunto vació: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por Ø o mediante { }. Por ejemplo A = {x² + 1 = 0 | x ϵ R} = Ø , es conjunto vacío ya que no existe ningún número real que cumpla que x²+1 = 0

Conjunto universal: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo de un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por Ʊ.

Relaciones entre conjuntos

Igualdad de conjuntos: se da si el conjunto A y el conjunto B tienen los mismos elementos, es decir que cada elemento de A le pertenece a B y  a su vez que cada elemento de B también le pertenece a A. 

Se denota como A = B

Por ejemplo los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }  y B = { 1, 3, 5, 2, 4, 6 } son iguales.

Conjuntos equivalentes: se da si el conjunto A y B tienen la misma cardinalidad es decir número de elementos. 

Se denota como A ≈ B

Por ejemplo los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }  y B = { a, f, j, t, r, q } son equivalentes.

Subconjunto: si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de b. Se representa como

A  с  B

Por ejemplo si E = { 1, 2, 3}  y  A= { 1, 3, 5, 2, 4, 6 }  entonces E с A

Mientras que si F = { 0, 1, 2}  y  A= { 1, 3, 5, 2, 4, 6 }  entonces F ȼ A (ya que 0 no es elemento de A)

Operaciones entre conjuntos

Con los conjuntos tambien podemos realizar operaciones, las más importantes son:

En las siguientes páginas puedes consultar información más informacion relativa a los conjuntos.

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