sábado, 11 de enero de 2014

Esperanza matemática y desviación estándar

En el tema anterior mencionamos la idea de estudiar estadísticamente la probabilidad mediante la distribución de probabilidades, vamos a continuar con este análisis retomando dos medidas importantes en estadística que son la media aritmética (promedio) y la desviación estándar.

La Esperanza matemática o media, es el valor que se esperaría observar en promedio si el experimento se repite una y otra vez (hay que recordar que el promedio no es necesariamente un resultado posible del experimento). La esperanza está dada por la fórmula:


Ejemplo 1. En un sorteo se ofrecerán 6 premios; uno de $10000, dos de $5000 y cinco de $3000; suponiendo que se distribuyen cien boletos del sorteo y sin considerar gastos, ¿cuánto debe costar cada boleto para cubrir el costo de los premios?
 Sea la variable X: valor del premio, puede tomar valores de 3000, 5000 y 10000.

Valores de x
Probabilidad de cada valor
Se multiplican ambas columnas y se suman los resultados
x
p(x)
x * p(x)
3000
5 / 100 = 0.05
3000 * 0.05 = 150
5000
2 / 100 = 0.02
5000 * 0.02 = 100
10000
1 / 100 = 0.01
                   10000 * 0.01 = 100
E(x) =
Σ = 350

El precio mínimo de cada boleto debe ser de 350 pesos.


Varianza y Desviación Estándar

La esperanza matemática o media de la variable aleatoria X describe en dónde se centra la distribución de probabilidad. Sin embargo por sí misma no ofrece una descripción adecuada de la distribución por ello se necesita además analizar la dispersión de la distribución. En este caso emplearemos la varianza y la desviación estándar.

Sea x una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad p(x) y esperanza E(x). La varianza de x es

Ejemplo 2. El gerente de una tienda de electrónica conoce la distribución de probabilidad X de que en un día se vendan cierto número de computadoras. Encuentre la esperanza, varianza y desviación estándar de X.

X
0
1
2
3
4
5
P(x)
0.10
0.40
0.20
0.15
.10
0.05

Construimos la siguiente tabla


El número de ventas esperado será de 1.9 computadoras es decir 2 al día con una desviación estandar de 1.34 computadoras.


Ejemplo 3. Si una persona invierte en unas acciones con una probabilidad de 0.3 de obtener una ganancia de $4000 o una probabilidad de 0.7 de tener una pérdida de $1000. ¿Cuál es la ganancia esperada y la desviación estándar de esta persona?

Si X es la ganancia de la persona puede tomar dos valores: + 4000 si gana, o -1000 si pierde.
Construimos la siguiente tabla

La ganancia esperada es de 500 pesos con una desviación de 3807.88 pesos.


Ejemplo 4. Aproximadamente 10% de las botellas de vidrio que salen de una línea de producción presentan defectos en el vidrio. Si dos botellas se seleccionan al azar, encuentre la media y la desviación estándar del número de botellas que presentan defectos.

Sea X: número de botellas con defectos, sus valores posibles son 0, 1 y 2.

La probabilidad de que ser defectuosa es 0.10 y de estar bien es de 0.90, además cada botella es independiente de las otras podemos obtener la distribución de probabilidad por la regla de la multiplicación de la siguiente manera:
P (ambas bien)  = P(x=0) = (0.90) (0.90) = 0.81
P (una defectuosa) = P(x=1) = (0.10) (0.90) + (0.90) (0.10) = 0.09 + 0.09 =0.18
P (ambas defectuosas) = P(x=2) = (0.10) (0.10) = 0.01
La tabla de distribución de probabilidad quedas así:

El número de botellas defectuosas esperado será de 0.2 con una desviación de 0.68 botellas.


Ejercicios.

1. Una caja contiene 6 billetes de $200.00, 3 de $500.00 y 1 de $1000.00. Determinar la esperanza matemática, al extraer al azar un billete.

2. Sea X el número de veces que un cliente va a una tienda en un periodo de una semana y su distribución de probabilidad está dada por la siguiente tabla. Encuentre el valor esperado de x y su desviación estándar.

X
0
1
2
3
P(x)
0.10
0.40
0.40
0.10


3. El representante de una empresa está por lanzar un producto nuevo, si el producto se vende las ganancias serán aproximadamente de 800 mil pesos, pero si no se vende tendrá una pérdida aproximada de 250 mil pesos. El departamento de ventas estima que las probabilidades de fracaso y de éxito son .01 y .05, respectivamente. Encontrar la ganancia esperada y la desviación estándar para las posibles ventas.

4. Un vendedor por error agenda en un mismo horario dos citas, considera que en la primera cita tiene 70 por ciento de probabilidades de cerrar la venta con una ganancia de 10,000 pesos; por otro lado cree que en la segunda cita sólo tiene 40 por ciento de probabilidades de cerrar la venta con una ganancia de 15000 pesos. Si no puede cambiar las citas y solo puede acudir a una de ellas ¿Cuál le conviene más?

5. En una rifa se venden 800 boletos a 50 cada uno, el premio es una pantalla de televisión con un valor de 14000 pesos. Si usted compra dos boletos, ¿cuál es su ganancia esperada?

Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Walpole, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México, D. F.

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