La Esperanza
matemática o media, es el valor que se esperaría observar en promedio si el
experimento se repite una y otra vez (hay que recordar que el promedio no es
necesariamente un resultado posible del experimento). La esperanza está dada por
la fórmula:
Ejemplo
1. En un sorteo se ofrecerán 6 premios; uno de $10000,
dos de $5000 y cinco de $3000; suponiendo que se distribuyen cien boletos del
sorteo y sin considerar gastos, ¿cuánto debe costar cada boleto para cubrir el
costo de los premios?
Valores de x
|
Probabilidad de cada valor
|
Se multiplican ambas columnas y se suman los
resultados
|
x
|
p(x)
|
x * p(x)
|
3000
|
5 / 100 = 0.05
|
3000 * 0.05 = 150
|
5000
|
2 / 100 = 0.02
|
5000 * 0.02 = 100
|
10000
|
1 / 100 = 0.01
|
10000
* 0.01 = 100
|
E(x) =
|
Σ = 350
|
El precio mínimo de cada boleto debe ser de
350 pesos.
Varianza
y Desviación Estándar
La esperanza matemática o media de la variable
aleatoria X describe en dónde se centra la distribución de probabilidad. Sin
embargo por sí misma no ofrece una descripción adecuada de la distribución por
ello se necesita además analizar la dispersión de la distribución. En este caso
emplearemos la varianza y la desviación estándar.
Sea x una variable aleatoria discreta con
distribución de probabilidad p(x) y esperanza E(x). La varianza de x es
Ejemplo
2. El gerente de una tienda de electrónica conoce la
distribución de probabilidad X de que en un día se vendan cierto número de
computadoras. Encuentre la esperanza, varianza y desviación estándar de X.
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
P(x)
|
0.10
|
0.40
|
0.20
|
0.15
|
.10
|
0.05
|
Construimos la siguiente tabla
El número de ventas esperado será de 1.9
computadoras es decir 2 al día con una desviación estandar de 1.34 computadoras.
Ejemplo
3. Si una persona invierte en unas acciones con una
probabilidad de 0.3 de obtener una ganancia de $4000 o una probabilidad de 0.7 de
tener una pérdida de $1000. ¿Cuál es la ganancia esperada y la desviación
estándar de esta persona?
Si X es la ganancia de la persona puede tomar
dos valores: + 4000 si gana, o -1000 si pierde.
Construimos la siguiente tabla
La ganancia esperada es de 500 pesos con una
desviación de 2291.28 pesos.
Ejemplo
4. Aproximadamente 10% de las
botellas de vidrio que salen de una línea de producción presentan defectos en
el vidrio. Si dos botellas se seleccionan al azar, encuentre la media y la desviación
estándar del número de botellas que presentan defectos.
Sea X: número de botellas con
defectos, sus valores posibles son 0, 1 y 2.
La probabilidad de que ser
defectuosa es 0.10 y de estar bien es de 0.90, además cada botella es
independiente de las otras podemos obtener la distribución de probabilidad por
la regla de la multiplicación de la siguiente manera:
P (ambas bien)
= P(x=0) = (0.90) (0.90) = 0.81
P (una defectuosa) = P(x=1) = (0.10) (0.90) + (0.90)
(0.10) = 0.09 + 0.09 =0.18
P (ambas defectuosas) = P(x=2) = (0.10)
(0.10) = 0.01
La tabla de distribución de
probabilidad quedas así:
Ejercicios.
1. Una caja contiene 6
billetes de $200.00, 3 de $500.00 y 1 de $1000.00. Determinar la esperanza
matemática, al extraer al azar un billete.
2. Sea X el
número de veces que un cliente va a una tienda en un periodo de una semana y su
distribución de probabilidad está dada por la siguiente tabla. Encuentre el
valor esperado de x y su desviación estándar.
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
| P(x) |
0.10
|
0.40
|
0.40
|
0.10
|
3. El representante de una
empresa está por lanzar un producto nuevo, si el producto se vende las
ganancias serán aproximadamente de 800 mil pesos, pero si no se vende tendrá una
pérdida aproximada de 250 mil pesos. El departamento de ventas estima que las
probabilidades de fracaso y de éxito son .01 y .05, respectivamente. Encontrar
la ganancia esperada y la desviación estándar para las posibles ventas.
4. Un vendedor por error agenda en un mismo
horario dos citas, considera que en la primera cita tiene 70 por ciento de
probabilidades de cerrar la venta con una ganancia de 10,000 pesos; por otro
lado cree que en la segunda cita sólo tiene 40 por ciento de probabilidades de
cerrar la venta con una ganancia de 15000 pesos. Si no puede cambiar las citas
y solo puede acudir a una de ellas ¿Cuál le conviene más?
5. En una rifa se venden 800 boletos a 50 cada
uno, el premio es una pantalla de televisión con un valor de 14000 pesos. Si
usted compra dos boletos, ¿cuál es su ganancia esperada?
Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Walpole, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México, D. F.
Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Walpole, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México, D. F.
😉😉
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