Una distribución de probabilidad continua sumamente
importante es la distribución normal, también conocida como distribución
gaussiana en honor al matemático Karl Gauss. Existen dos razones fundamentales
por las cuales la distribución normal ocupa un lugar tan prominente en la
estadística:
- Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en las que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.
- Se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas (peso, altura, coeficiente intelectual), resultados de procesos físicos (dimensiones y rendimientos), y muchas otras medidas de interés para los administradores, tanto en el sector público como en el privado.
La función de densidad
normal esta generada por la fórmula:
Donde x es el valor de la variable aleatoria normal, μ
es la media poblacional, σ es la desviación estándar poblacional, e =
2.7182.. y π = 3.1415…
Su grafica llamada curva normal tiene forma de
campana por lo que se le conoce como campana de Gauss.
A pesar de la utilidad de la curva normal resulta
impráctico construir una tabla de áreas para cada valor de la media y la
desviación estándar, por lo que se suele emplear un procedimiento llamado estandarización
que nos permite usar una única tabla para todas las distribuciones normales.
La
distribución de probabilidad Normal Estándar
Una variable aleatoria normal X está estandarizada si
expresamos su valor como el número de desviaciones estándar que se encuentran a
la izquierda o derecha de su media. La variable aleatoria normal estandarizada z,
se define como:
Dónde:
x = valor variable aleatoria normal X z =
valor variable aleatoria normal estándar Z
μ = media de la distribución normal σ = desviaciones estándar de
la distribución
En términos sencillos la estandarización es un
cambio de unidades de x a z, como si convirtiéramos de pulgadas a metros, o de
horas a segundos. Con la ventaja de que se emplea una única tabla para calcular
la probabilidad.
Manejo
de la tabla normal estándar
Supongamos que queremos calcular la probabilidad de que z este entre 0 y 2.24 es decir p (0 < z < 2.24)
En la tabla normal estándar buscamos primero
el renglón correspondiente a 2.2, y en la columna superior buscamos las
centésimas 0.04; la intersección nos da un el área de 0.4875 que es la probabilidad
buscada:
p (0 < z
< 2.24) = 0.4875
Los valores negativos de z se buscan de la
misma manera ya que la curva es simétrica, entonces
p (-2.24 < z < 0) = 0.4875
Ejemplo
1. El tiempo de revelado de una fotografía sigue una
distribución normal con media de 16.2 segundos y desviación estándar de 0.52
seg. Encontrar la probabilidad de que el tiempo de revelado requerido para una fotografía
sea de:
a) mayor de 17 segundos
Sean x
= 17, μ = 16.2, σ = 0.52, sustituyendo en la fórmula
b) mayor de 15 segundos
Sean x
= 15, μ = 16.2, σ = 0.52, sustituyendo en la fórmula
c) Entre 16 y 17 segundos
En este caso tenemos dos valores, sean x1 = 16, x2 = 17, μ = 16.2, σ = 0.52, calculamos dos z
d) Entre 17 y 18 segundos
En este caso tenemos dos valores, sean x1 = 17, x2 = 18, μ = 16.2, σ = 0.52, calculamos dos z
Al calcular probabilidades con la tabla normal
estándar podemos tener alguno de los siguientes cinco casos:
Aproximación
de la binomial con la normal
La evaluación de una función de probabilidad
binomial, a mano o con una calculadora, se dificulta cuando el número de
ensayos es muy grande.
S
in embargo cuando n es lo suficientemente
grande (n > 30), la gráfica de la distribución de probabilidad binomial se
aproxima a la curva normal, por lo que es razonable usar la distribución normal
para calcular una probabilidad binomial con una buena aproximación.
En general se usar esta aproximación cuando:
(n)(p) ≥ 5 y
(n)(q) ≥ 5
Como estamos usando una distribución continua
para aproximar una distribución discreta, se aplica un factor de corrección por continuidad el
cual consiste en tomar 0.5 a la izquierda y/o a la derecha del valor de x segun corresponda (esto
es semejante a los límites reales al construir el histograma en estadística).
Ejemplo
2. Una empresa manufacturera sabe por experiencia que
15% de sus artículos tienen algún defecto. Se toma una muestra de 100 artículos
y desea calcular la probabilidad de que:
a) más de 20 sean defectuosos
Sea la variable aleatoria X: número de artículos
defectuosos, entonces:
n = 100,
éxito: sea defectuoso con p = 15% = 0.15, fracaso: este bien con q = 1 - 0.15 = 0.85
Calcular esta probabilidad usando la binomial
implica aplicar la formula mínimo 20 veces, lo cual es algo laborioso,
intentemos usar la distribución normal. Primero verificamos que se cumplan las condiciones
(n)(p) = (100)(0.15) = 15 ≥ 5 y (n)(q) = (100)(0.85) = 85 ≥ 5.
Primero calculamos la media y desviación
estándar
Dado que nos piden x > 20 tomamos medio
punto antes, nos queda x > 19.5
b) Exactamente 12 sean defectuosos
En las distribuciones continuas las
probabilidades se calculan como áreas bajo la curva, por lo tanto la probabilidad de un solo valor de la
variable aleatoria es cero. En este caso tomamos medio punto antes y medio
punto después de 12.
Sean x1
= 11.5, x2 = 12.5, μ = 15, σ = 3.57, calculamos dos valores de z
c) menos de 18 sean defectuosos
Dado que nos piden x < 18 tomamos medio
punto después, nos queda x < 18.5
Ejercicios.
1. Un estudio revelo que las horas quincenales
que se conectan los jóvenes en internet sigue una distribución normal con una media
de 77 horas y una desviación estándar de 20 horas. Calcular la probabilidad de
que un joven seleccionado al azar:
a) Se conecte más de 70 horas a Internet
b) Se conecte menos de 50 horas a Internet
c) Se conecte de 40 a 80 horas
d) Se conecte de 85 a 100 horas
2. Las barras de pan de una cierta marca
tienen una longitud promedio de 30 centímetros y una desviación estándar de 2
centímetros. Si se supone que las longitudes están distribuidas normalmente,
¿qué porcentaje de las barras son
a) más largas que 31.7 centímetros?
b) de entre 29.3 y 33.5 centímetros de
longitud?
c) más cortas que 25.5 centímetros?
3. Un paciente que sufre un trasplante tiene
0.4 de probabilidad de ser compatible. Si se sabe que 100 personas recibieron
algún trasplante, ¿cuál es la probabilidad de que sean compatibles:
a) menos de 30?
b) más de 50?
c) de 30 a 50?
4. Los reportes del alcoholímetro indican que en
fin de semana uno de cada 10 conductores no pasa la prueba. Si en un fin de
semana se revisan 400 conductores al azar, calcular la probabilidad de que no
pasen la prueba:
a) menos de 32
b) más de 49
c) entre 35 y 47
Fuentes consultadas de donde se tomaron algunos ejemplos:
Anderson, D. (2008). Estadística
para administración y economía. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Levin, R. (2004). Estadística
para administración y economía. Pearson Educación, México, México, D. F.
Mendenhall, W. (2010). Introducción
a la probabilidad y estadística. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Wackerly, D. (2010). Estadística
matemática con aplicaciones. Cengage Learning Editores, México, D. F.
Walpole, R. (2012). Probabilidad
y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson Educación, México, México,
D. F.
